Lingkaran adalah himpunan semua titik di sebuah bidang datar memiliki jarak yang sama dari suatu titik tetap pada bidang tersebut. Titik tetap pada bidang itu disebut dengan titik pusat lingkaran. Adapun jarak yang sama dari satu titik ke titik yang lain disebut dengan jari-jari (radius) lingkaran. Bidang lingkaran adalah daerah yang dibatasi dengan lingkaran. Tentu saja berbeda antara lingkaran dan bidang lingkaran. Dengan benang kita dapat mengkontekstualkan lingkaran sedangkan dengan tripleks atau karton dapat mengkontekstualkan bidang lingkaran.
Menggambar Lingkaran
Untuk membuat sebuah lingkaran, diperlukan sebuah jangka dan penggaris. Mula-mula ukurlah panjang radius (jari-jari) yang diinginkan pada sebuah penggaris dengan menggunakan jangka. Lalu pindahkan jangka tersebut dari penggaris, dan mulailah membuat sebuah lingkaran pada kertas yang lain. Pastikanlah, bagian lancip pada jangka menancap cukup kuat pada kertas sehingga tidak bergeser. Putarlah pangkal kepala jangka dengan hati-hati, putaran dari titik awal sampai kembali ke titik awal.
1. Bagian-bagian Lingkaran
Lingkaran memiliki bagian-bagian yang membentuk sebuah lingkaran. Bagian-bagian lingkaran antara lain sebagai berikut.
- Titik Pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada gambar di samping titik O merupakan titik pusat lingkaran.
- Jari-jari lingkaran (r) adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Pada gambar disampingd jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.
- Diameter (d) adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Pada gambar disamping AB dan CD merupakan diameter lingkaran. Panjang diameter lingkaran adalah 2 kali panjang jari-jari lingkaran atau bisa ditulis d = 2r.
- Busur lingkaran adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada gambar di atas, garis lengkung AC (ditulis) merupakan busur lingkaran. Busur lingkaran dibagi menjadi 2, yaitu busur kecil dan busur besar. Pada umumnya, istilah dalam buku hanya busur lingkaran. Ini berarti yang dimaksud adalah busur kecil.
- Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti pada gambar di atas.
- Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.
- Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.
- Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O.
2. Diameter
Diameter lingkaran (d) yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada busur lingkaran melalui titik pusat lingkaran. Diameter disebut juga dengan garis tengah. Perhatikan gambar di samping. PQ dan ST melewati pusat lingkaran O. Maka POQ disebut sebagai diameter lingkaran tersebut. POQ dan SOT memiliki panjang yang sama, maka SOT juga disebut dengan diameter. Tetapi perhatikan garis AB ! AB bukan diameter karena tidak melalui pusat lingkaran. OP dan OQ adalah jari-jari lingkaran. OP = OQ PQ = 2 x OP atau PQ = 2 x OQ.Diameter = 2 x jari-jari lingkaran3. Phi (π)
Jari-jari lingkaran = diameter : 2
Pi adalah suatu tetapan yang dipakai untuk mencari luas lingkaran. Nilai Pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling (K) dengan diameternya (d). Nilai perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3,14159265358 atau 22/7. Pi adalah panjang keliling lingkaran yang berdiameter 1 satuan. Perhatikan contoh berikut.
| No. | Diameter | Keliling Lingkaran | Keliling : Diameter | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 7 cm |
| 22 : 7 = 3.142857142857143 | ||||
| 2. | 14 cm |
| 44 : 14 = 3.142857142857143 | ||||
| 3. | 21 cm |
| 66 : 21 = 3.142857142857143 | ||||
| 4. | 28 cm |
| 88 : 28 = 3.142857142857143 |
3. Keliling Lingkaran
Apabila keliling lingkaran dibagi dengan panjang diameternya, akan menghasilkan nilai yang sama. Angka tersebut dinamakan pi (π). Nilai pi adalah 3,14159265358 atau 22/7
Keliling lingkaran : diameter = π.Soal Latihan :
Maka: Keliling lingkaran = π x diameter atau πd
1. Dengan menggunakan π = 22/7 tentukan keliling lingkaran yang memiliki:
a. Diameter 14 cm
| K = πd = | 22 | x 14 = 44 cm |
| 7 |
| K = πd = | 22 | x 42 = 132 cm |
| 7 |
| K = πd = | 22 | x 63 = 198 cm |
| 7 |
| K = πd = | 22 | x 56 = 176 cm |
| 7 |
| K = πd = | 22 | x 12 = 37,71 cm |
| 7 |
a. Diameter 20 cm
K = πd = 3,14 x 20 = 62,8 cm
b. radius 20 cm, d = 2 x 20 = 40
K = πd = 3,14 x 40 = 125,6 cm
c. Diameter = 12 cm
K = πd = 3,14 x 12 = 37,68 cm
d. Diameter = 16 cm
K = πd = 3,14 x 16 = 50,24 cm
d. Jari-jari = 7 cm, d = 2 x 7 = 14 cm
K = πd = 3,14 x 14 = 43,96 cm
4. Mencari Luas Lingkaran
Luas lingkaran adalah bidang yang dibatasi oleh garis yang berjarak sama ke titik pusat lingkaran. Untuk menemukan luas lingkaran dapat menggunakan langkah-langkah seperti di bawah ini :
- Buatlah sebuah lingkaran dengan diameter tertentu.
- Lalu lipatlah sedemikian rupa hingga menjadi 8 bagian.
- Bukalah lipatan lingkaranmu dan kamu akan mendapatkan bagian lingkaran yang sama.
- Buatlah garis mengikuti garis lipatan pada kertas.
- Potonglah setiap bagian lingkaran dengan menggunakan gunting secara hatihati.
- Letakkan potongan bagian lingkaran mengikuti gambar di bawah ini.
- Lalu ambillah satu bagian yang berada di paling pinggir.
- Lipatlah bagian itu sehingga menjadi dua bagian yang sama.
- Potonglah kedua bagian tersebut dengan menggunakan gunting.
- Lalu ambillah satu bagian dan letakkanlah di samping kiri jajaran potongan lingkaranmu sebelumnya.
- Letakkan bagian yang lain di sisi kanan.
- Maka kamu akan melihat jajaran bagian lingkaran itu membentuk sebuah persegi panjang.
= panjang x lebar
= π x jari-jari x jari-jari (jari-jari = radius)
= π x r²
Dengan demikian, maka: Luas Lingkaran = π x r²Contoh :
a. Hitunglah luas lingkaran berikut yang memiliki radius 12 cm (π = 3,14)
Luas lingkaran = π x radius x radius
= 3,14 X 12 X 12
= 452,16 cm²
b. Diameter sebuah cakram berbentuk lingkaran adalah 18 cm. Berapakah luas cakram tersebut?
Radius lingkaran cakram = 18 : 2 = 9 cm
Luas lingkaran cakram = π x radius x radius
= π x 9 x 9
= 3,14 x 81
= 254,34 cm²
c. Diameter sebuah lingkaran adalah 14 meter. Berapakah luas lingkaran tersebut? (π = 22/7)
Radius lingkaran = 14 : 2 = 7 m
Luas lingkaran = π x radius x radius
| Luas = | 22 | x 7 x 7 = 154 m² |
| 7 |
| No. | d | π = 22/7 | π = 3,14 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 14 cm |
| L=πxrxr = 3,14 x 14x14 =615,44 cm² | ||||
| 2. | 21 cm |
| L=πxrxr = 3,14 x 21x21 =1.384, 74 cm² | ||||
| 3. | 28 cm |
| L=πxrxr = 3,14 x 28x28 =2.461, 76 cm² | ||||
| 4. | 35 cm |
| L=πxrxr = 3,14 x 35x35 =3.846, 5 cm² |
Dengan memperhatikan contoh di atas apabila jari-jari atau diameter adalah bilangan kelipatan 7 sebaiknya menggunakan π = 22/7 dan apabila diameter atau jari-jari bukan kelipatan 7 sebaiknya menggunakan π = 3,14